地震（進階）：規模、震源機制與破裂物理

為什麼同一個地震，氣象署說 6.0，外國媒體卻寫 6.2？

如果你讀過入門篇，你已經知道地震是斷層錯動釋放彈性應變能，也知道規模（magnitude）和震度（intensity）是兩回事。但這裡有個你可能沒想過的問題：同一場地震，台灣氣象署（CWA）公布規模 6.0，而美國地質調查所（USGS）卻列出 6.2。這不是誰算錯了，而是因為「規模」根本不只一種。

更深一層的問題是：規模到底在「量」什麼？為什麼一個小小的數字差異，背後對應的能量差距可以非常巨大？要回答這些，我們得從地震波形如何被轉換成一個數字談起——這正是進階地震學的入口。

規模不只一種：從 $M_L$ 到 $M_w$

入門篇提到的「芮氏規模」其實是 1935 年 Charles Richter 為南加州淺層地震設計的地方規模（local magnitude, $M_L$）。它的定義很直接：用伍德-安德森（Wood-Anderson）地震儀記錄到的最大振幅 $A$，取對數，再扣掉隨距離衰減的修正項：

$$ M_L = \log_{10} A - \log_{10} A_0(\Delta) $$

其中 $A_0(\Delta)$ 是震央距 $\Delta$ 的校正函數。問題來了：$M_L$ 是針對特定儀器、特定地區、特定波長設計的。當地震很大時，斷層破裂面可能長達數百公里，但地震儀在某個週期上的振幅卻會「飽和」——再大的地震，量到的振幅也漲不上去。這叫規模飽和（magnitude saturation）。$M_L$ 大約在 6.5–7 就開始飽和，$m_b$（體波規模）更早，約在 6.0–6.2。

於是 1970 年代金森博雄（Hiroo Kanamori）與 Thomas Hanks 提出了矩規模（moment magnitude, $M_w$），它不靠單一振幅，而是建立在物理量地震矩（seismic moment, $M_0$）上：

$$ M_0 = \mu \cdot A \cdot \bar{D} $$

• $\mu$：岩石的剪切模量（rigidity），地殼約 $3 \times 10^{10}\ \text{Pa}$
• $A$：破裂面面積（斷層長 × 寬）
• $\bar{D}$：平均錯動量（average slip）

換句話說，$M_0$ 直接描述「多大一塊岩石、滑了多遠」。再透過下式換成我們熟悉的數字尺度：

$$ M_w = \frac{2}{3}\log_{10} M_0 - 6.07 \quad (M_0 \text{ 單位為 N·m}) $$

$M_w$ 不會飽和，所以對大地震最可靠。回到開頭：CWA 的速報常用 $M_L$，USGS 對較大地震慣用 $M_w$，兩套尺度量的是不同物理量，自然會有零點幾的差異。這不是錯誤，而是方法論的差異。

一級之差，能量差 32 倍

很多人以為規模 7 比規模 6「大一點」，這是嚴重低估。規模是對數尺度，而且輻射出的地震波能量 $E$ 與規模的關係是：

$$ \log_{10} E \approx 1.5\, M_w + 4.8 \quad (E \text{ 單位為焦耳}) $$

注意那個係數 1.5。每增加 1 個規模，$\log_{10} E$ 增加 1.5，也就是能量變成 $10^{1.5} \approx 31.6$ 倍。每增加 2 個規模，能量就是 $10^{3} = 1000$ 倍。

這也解釋了為什麼「地震矩」前面的係數是 $2/3$：因為 $\frac{2}{3} \times 1.5 = 1$，這是刻意設計的，讓 $M_w$ 在數值上與舊規模尺度大致銜接，又能保有能量的物理意義。

震源機制：地震在「告訴」我們斷層怎麼動

進階地震學裡有個漂亮的工具叫沙灘球（beach ball），正式名稱是震源機制解（focal mechanism）。當斷層錯動時，地震波往不同方向輻射的「初動」方向（地面先被推開還是拉近）會形成規律的四象限分布。把這個分布投影到一個球面上，就得到那個黑白相間的圖案。

從沙灘球可以讀出： - 斷層型態：正斷層（normal）、逆斷層（reverse/thrust）、平移斷層（strike-slip） - 斷層面走向、傾角、滑動角（strike, dip, rake）

台灣位於菲律賓海板塊與歐亞板塊聚合帶上，多數大地震是逆斷層（如 1999 集集地震的車籠埔斷層），沙灘球呈現中央黑、四角白的特徵。理解沙灘球，就能在看到地震報告時，立刻判斷這個地震是擠壓型還是張裂型。

看一個例子：用沙灘球判讀 1999 集集地震

集集地震（$M_w \approx 7.6$）的震源機制顯示為逆斷層帶些微左移分量，破裂沿車籠埔斷層由南向北傳播約 100 公里。北段（石岡、豐原一帶）地表錯動量最大，垂直抬升超過 8 公尺。

這就是震源機制的價值：沙灘球告訴我們「擠壓」，破裂方向告訴我們為什麼北段災情遠重於南段——這牽涉到接下來要談的方向性效應。

破裂方向性：為什麼有些地方特別慘

地震不是一個點瞬間爆開，而是破裂從震源（hypocenter）沿斷層面「擴展」的過程，速度約每秒 2–3 公里。這帶來一個類似聲音的都卜勒效應（Doppler effect）的現象——破裂方向性（rupture directivity）。

當破裂朝著某個方向傳播時，往那個方向的地震波會被「擠壓」、能量集中，產生振幅大、週期長、衝擊性強的速度脈衝（velocity pulse）。位於破裂前進方向的地點，會承受比反方向更猛烈的地動。集集地震北段災情慘重，方向性效應是關鍵原因之一。

動手算一下：估算破裂持續時間

如果一個地震的斷層破裂長度 $L = 100\ \text{km}$，破裂傳播速度 $v_r = 2.7\ \text{km/s}$，那麼破裂從一端傳到另一端需要多久？

$$ t = \frac{L}{v_r} = \frac{100\ \text{km}}{2.7\ \text{km/s}} \approx 37\ \text{秒} $$

這意味著大地震的「搖晃」可以持續數十秒，遠長於小地震的數秒。這也是為什麼大地震的災害不只取決於規模，還取決於強震持時（duration of strong motion）——長時間反覆受力，建築物更容易因疲勞累積而破壞。

地震預警：與 P 波賽跑的幾秒鐘

入門篇可能提過 P 波快、S 波慢。進階的應用是：我們能不能利用這個速度差，在破壞性的 S 波抵達前發出警報？這就是地震預警系統（Earthquake Early Warning, EEW）的核心原理。

P 波（縱波）速度約 $6\ \text{km/s}$，S 波（橫波）約 $3.5\ \text{km/s}$。破壞主要由 S 波與後續面波造成。系統的策略是：靠近震央的測站先偵測到 P 波，快速估算規模與位置，搶在 S 波傳到較遠城市前，透過電子訊號（光速）發出警報。

動手算一下：你有幾秒鐘？

假設某地距震央 $D = 70\ \text{km}$。P 波與 S 波的抵達時間差大約是：

$$ \Delta t = D \left( \frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P} \right) = 70 \left( \frac{1}{3.5} - \frac{1}{6} \right) \approx 70 \times 0.119 \approx 8.3\ \text{秒} $$

理論上有約 8 秒。但實務上要扣掉系統偵測、運算、發布的延遲（數秒），而且震央正下方有個「預警盲區（blind zone）」——距離太近，P 波警報還沒處理完，S 波就到了。台灣 CWA 的預警系統正是與這幾秒鐘賽跑，足夠讓高鐵減速、瓦斯停氣、學生就地掩護。

重點回顧

• 規模有很多種：$M_L$（地方規模）、$m_b$（體波規模）、$M_w$（矩規模）。小地震各種規模差不多，大地震時 $M_L$、$m_b$ 會飽和，$M_w$ 最可靠。CWA 與 USGS 數字略異是方法論差異，不是錯誤。
• 地震矩 $M_0 = \mu A \bar{D}$ 是描述地震大小的物理量，直接對應斷層面積與錯動量。
• 能量隨規模指數成長：每增加 1 個規模，輻射能量約增為 $32$ 倍；2 個規模就是 $1000$ 倍。
• 震源機制（沙灘球） 能判讀斷層型態與破裂方向；台灣以逆斷層為主。
• 破裂方向性讓破裂前進方向的地點災情更重；地震預警利用 P/S 波速差搶得數秒應變時間，但有預警盲區。

深入探討（研究所視角）

從點源到有限斷層：震源時間函數與反演。 前述把地震當「一個矩」是點源近似。真實大地震需用有限斷層模型（finite-fault model）描述破裂面上每一格（subfault）的滑動量、滑動方向與破裂時刻。研究者透過反演（inversion）遠場與近場波形、GPS 同震位移、甚至 InSAR 影像，重建破裂的時空演化。其數學基礎是表示定理（representation theorem），位移場是格林函數（Green's function）與滑動率時間函數的時空摺積：

$$ u_n(\mathbf{x}, t) = \int_{\Sigma} \int \dot{s}(\boldsymbol{\xi}, \tau)\, G_{n}(\mathbf{x}, t-\tau; \boldsymbol{\xi})\, d\tau\, d\Sigma $$

反演的不適定性（ill-posedness）需要正則化（如平滑約束、非負約束），這也是為什麼不同團隊對同一地震的破裂模型常有差異。

$b$ 值與地震統計。 古登堡-芮氏定律（Gutenberg-Richter law）描述某區域地震規模分布：

$$ \log_{10} N = a - bM $$

$N$ 是規模 $\geq M$ 的地震數。$b$ 值通常接近 1，但其時空變化被認為與應力狀態相關——應力升高時 $b$ 值常下降。$b$ 值是否能用於地震預測（earthquake forecasting）仍是活躍且具爭議的研究領域；目前學界共識是無法做確定性的短期預測，但能做機率性的危害度評估（PSHA, probabilistic seismic hazard analysis）。

慢地震與震源物理前沿。 過去十多年，密集 GPS 與井下應變儀揭露了慢滑移事件（slow slip events）與非火山顫動（tremor）——斷層在數天到數月間「無聲」地滑動，不輻射可感地震波。它們改寫了我們對斷層摩擦行為的理解：斷層帶並非簡單的「鎖定—破裂」二元狀態，而存在一整個從穩定潛移到失穩破裂的連續譜，由速率—狀態摩擦定律（rate-and-state friction）刻畫。台灣的隱沒帶與造山帶是觀測這些現象的天然實驗室，也是未來地震災害評估的重要前沿。

延伸思考：如果你是研究者，會選哪一種觀測資料（波形、GPS、InSAR、井下應變）來研究台灣某條斷層的滑移行為？每種資料各自能解析什麼時間尺度與空間尺度的訊號？